Equação do primeiro grau no Encceja: do texto à conta

Equação do primeiro grau é uma igualdade com um valor desconhecido, geralmente representado pela letra x, em que a incógnita aparece elevada à potência 1. Em 2x + 5 = 17, buscamos um número que, multiplicado por 2 e somado a 5, resulte em 17. Esse número é 6, pois 2 × 6 + 5 = 17.

Para resolver, mantemos a igualdade enquanto desfazemos as operações: subtraímos 5 dos dois lados e obtemos 2x = 12; depois dividimos os dois lados por 2 e chegamos a x = 6. Fazer a mesma operação nos dois membros é o princípio que explica o método.

Uma equação permite traduzir problemas com quantidades, preços, medidas e relações entre números. Você não precisa adivinhar a resposta. Precisa escolher o significado da letra, escrever a igualdade e conferir se a solução serve ao problema. Os exercícios desta aula são autorais e não representam questões oficiais.

A igualdade funciona como uma balança

Pense em uma balança equilibrada: as duas partes têm o mesmo peso. Se retirarmos três quilogramas de apenas um lado, ela perde o equilíbrio. Se retirarmos três quilogramas de cada lado, o equilíbrio permanece.

Na equação, o sinal de igual também precisa ser preservado. Em x + 7 = 19, subtrair 7 dos dois membros deixa x + 7 − 7 = 19 − 7. Portanto, x = 12.

Essa explicação é mais segura que decorar “passou para o outro lado, trocou o sinal”. A escrita abreviada pode ser útil depois, mas o número não atravessa a igualdade sozinho. Estamos aplicando a mesma operação aos dois lados.

Podemos somar ou subtrair a mesma quantidade dos dois membros e multiplicá-los ou dividi-los por um mesmo número diferente de zero. Dividir por zero não é uma operação válida. Quando a equação envolve condições adicionais, como denominadores com incógnita, é necessário considerar essas restrições; aqui trabalharemos com formas lineares básicas.

O que significam 3x, x/4 e os parênteses

Em matemática, 3x significa 3 multiplicado por x. Se x for 5, 3x será 15. Já x + 3 significa somar 3 ao valor de x: com x = 5, o resultado é 8. Confundir as duas expressões muda o problema inteiro.

Na expressão x/4, dividimos o valor desconhecido em quatro partes iguais. Se x = 20, x/4 = 5. Em 2(x + 3), somamos 3 a x e multiplicamos o resultado por 2. Com x = 5, temos 2 × 8 = 16.

A propriedade distributiva permite escrever 2(x + 3) = 2x + 6. O número 2 multiplica cada termo dentro dos parênteses. Escrever apenas 2x + 3 deixaria uma parte sem multiplicar.

Com sinal negativo, mantenha o mesmo cuidado: −3(x − 2) = −3x + 6. O segundo termo fica positivo porque −3 multiplicado por −2 resulta em +6. Se os sinais estiverem causando confusão, substitua x por um número simples e compare as duas expressões para detectar o erro.

Traduza o texto antes de calcular

“O dobro de um número, mais cinco, é igual a vinte e três.” Escolha x como esse número. Dobro é 2x; mais cinco é 2x + 5; “é igual a” indica a igualdade. Portanto, 2x + 5 = 23.

Subtraímos 5 dos dois lados: 2x = 18. Dividimos por 2: x = 9. Conferindo no enunciado, o dobro de 9 é 18; somando 5, temos 23.

Observe a diferença entre “o dobro de um número mais cinco” e “o dobro da soma de um número com cinco”. A segunda expressão pede 2(x + 5). Em um enunciado, procure os agrupamentos e o significado de cada operação; não traduza apenas palavra por palavra sem entender a frase.

Uma tabela pode ajudar:

Informação	Expressão
Um número aumentado em 8	x + 8
Um número diminuído de 8	x − 8
O triplo de um número	3x
A metade de um número	x/2
Cinco a menos que o dobro	2x − 5

Essas expressões ainda não são equações. Precisamos de uma igualdade ou de uma relação equivalente dada pelo problema para encontrar um valor específico.

Incógnita dos dois lados

Considere 5x + 4 = 2x + 19. Há parcelas com x nos dois membros. Podemos subtrair 2x dos dois lados: 3x + 4 = 19. Depois subtraímos 4: 3x = 15. Dividindo por 3, x = 5.

A conferência usa a equação original. No lado esquerdo, 5 × 5 + 4 = 29. No direito, 2 × 5 + 19 = 29. Como os resultados coincidem, encontramos uma solução.

É possível escolher outro caminho, como subtrair 5x e trabalhar com números negativos. Isso não é errado, mas pode aumentar o risco de se perder nos sinais. Organizar os termos para deixar o coeficiente de x positivo costuma facilitar o cálculo inicial.

Não some 5x com 4 como se fossem termos iguais. Cinco quantidades desconhecidas e quatro unidades conhecidas não se juntam em 9x. Podemos somar 5x e 2x, produzindo 7x, porque ambos contam a mesma quantidade x.

Equação com número negativo

Resolva 8 − 3x = 20. Subtraindo 8 dos dois lados, temos −3x = 12. Agora dividimos os dois membros por −3: x = −4.

Confira com atenção: 8 − 3 × (−4) = 8 − (−12) = 8 + 12 = 20. O resultado negativo está correto na equação. Ele não deve ser trocado por positivo só por parecer estranho.

Entretanto, o contexto pode limitar as respostas. Se x representar uma temperatura ou um saldo, um valor negativo pode fazer sentido. Se representar a quantidade de caixas compradas, talvez indique que os dados não descrevem uma compra possível ou que a equação foi montada incorretamente.

Resolver a conta e interpretar a solução são duas etapas ligadas. Não descarte automaticamente uma resposta negativa, mas também não aceite “menos quatro caixas” sem voltar ao enunciado.

Frações na equação

Na igualdade x/3 + 4 = 10, subtraímos 4: x/3 = 6. Para desfazer a divisão por 3, multiplicamos os dois lados por 3: x = 18. A verificação é 18/3 + 4 = 6 + 4 = 10.

Agora veja x/2 + x/3 = 10. Podemos multiplicar todos os termos dos dois lados por 6, que é múltiplo de 2 e de 3. Obtemos 3x + 2x = 60. Portanto, 5x = 60 e x = 12.

O número 6 precisa multiplicar todos os termos, inclusive o 10. Esquecer o lado direito produziria outra equação. A solução original confirma: metade de 12 é 6; um terço é 4; a soma dá 10.

Se essa etapa ficou difícil, volte à aula de frações. Entender equivalência e divisão permite resolver equações com mais segurança do que memorizar uma maneira de “eliminar denominadores”.

Um problema de preço com taxa fixa

Uma locadora cobra R$ 18 de taxa inicial e R$ 7 por hora de uso de um equipamento. Uma pessoa pagou R$ 53. Por quantas horas utilizou o equipamento, considerando o modelo de cobrança informado?

Chamamos a quantidade de horas de x. A parte variável é 7x, e a taxa inicial é 18. Logo, 18 + 7x = 53. Subtraindo 18, temos 7x = 35. Dividindo por 7, x = 5 horas.

Para conferir, cinco horas custam 5 × 7 = R$ 35, mais R$ 18 de taxa: R$ 53. Não podemos dividir simplesmente 53 por 7, porque o total inclui uma parcela que não depende do tempo.

Esse é um exemplo em que a regra de três aplicada ao preço total pode falhar. A relação inclui uma taxa fixa; a equação registra as duas partes da cobrança. Se o enunciado mencionar horas inteiras, frações de hora ou arredondamento, isso também precisa entrar na interpretação.

Quando não há uma única resposta

Compare 2x + 3 = 2x + 8. Subtraindo 2x dos dois lados, sobra 3 = 8. Como essa igualdade é falsa, nenhum número resolve a equação. Ela não tem solução.

Já 2x + 3 = 2x + 3 resulta em 3 = 3 depois de retirar 2x dos dois membros. A igualdade é verdadeira para qualquer x dentro do conjunto considerado. Portanto, há infinitas soluções, e não apenas x = 0.

Esses casos mostram por que não devemos dividir automaticamente por um coeficiente que virou zero. Quando a incógnita desaparece, examine a igualdade restante. Uma afirmação falsa indica impossibilidade; uma identidade verdadeira indica que a equação não seleciona um único valor.

Exercícios resolvidos para praticar

1. Resolva 4x − 7 = 21. Somamos 7 dos dois lados e obtemos 4x = 28. Dividindo por 4, x = 7. A verificação é 4 × 7 − 7 = 28 − 7 = 21.

2. Resolva 3(x + 2) = 24. Podemos dividir os dois lados por 3: x + 2 = 8. Subtraindo 2, x = 6. Outra possibilidade é distribuir primeiro: 3x + 6 = 24. As duas formas chegam à mesma solução.

3. O triplo de um número menos 9 é igual a esse número mais 15. Qual é o número? A equação é 3x − 9 = x + 15. Subtraímos x: 2x − 9 = 15. Somamos 9: 2x = 24. Logo, x = 12. Nos dois lados da equação original, o resultado é 27.

4. Depois de gastar R$ 28, uma pessoa ficou com a metade do que tinha. Quanto tinha? Seja x o valor inicial. Após o gasto, restam x − 28. Isso equivale a x/2. Então x − 28 = x/2. Multiplicando tudo por 2: 2x − 56 = x. Subtraindo x e somando 56, obtemos x = 56 reais. Gastar 28 realmente deixa 28, metade de 56.

5. Resolva 10 − 2x = 18. Subtraindo 10: −2x = 8. Dividindo por −2: x = −4. Na conferência, 10 − 2 × (−4) = 18. O erro comum seria esquecer o sinal negativo no divisor.

Ao terminar, explique em uma frase o significado de x, a operação usada em cada passo e a verificação. Depois pratique a leitura das provas antigas e use o que estudar para combinar essa base com proporções, porcentagem e geometria.

Fontes e referências

• Inep: livros de estudo de Matemática do Encceja. Os problemas e suas soluções nesta página são próprios.