Regra de três no Encceja: direta e inversa explicadas

Regra de três é um modo de encontrar uma quantidade desconhecida quando duas grandezas mantêm uma relação proporcional. Se três cadernos iguais custam R$ 24, seis custarão R$ 48, desde que o preço de cada caderno permaneça o mesmo. Dobrar a quantidade dobra o preço: essa é uma proporção direta.

Mas nem toda relação funciona assim. Se duas pessoas fazem determinado serviço em seis horas, quatro pessoas podem fazê-lo em três horas no modelo em que todas trabalham no mesmo ritmo e conseguem dividir o serviço. Mais pessoas reduzem o tempo na mesma proporção: essa é uma relação inversa. Identificar a relação vem antes de montar a conta.

Esta aula usa situações e exercícios próprios. Eles ajudam na preparação, mas não são questões oficiais nem indicam frequência de cobrança. Você pode aplicar o raciocínio depois nas provas anteriores do Encceja.

O que são grandeza, razão e proporção

Grandeza é algo que podemos medir ou contar: distância, tempo, quantidade de produtos, massa ou preço. Uma razão é uma comparação feita por divisão. Se percorremos 120 quilômetros em duas horas, a razão distância/tempo é 120 ÷ 2 = 60 quilômetros por hora.

Isso não quer dizer que o veículo manteve exatamente essa velocidade em todos os momentos. Nesse exemplo, calculamos uma velocidade média. Se o problema disser que a velocidade é constante, podemos usar essa relação para outros tempos dentro da situação apresentada.

Uma proporção é a igualdade entre duas razões. Três cadernos por R$ 24 e cinco cadernos por R$ 40 mantêm o mesmo preço por unidade: 24/3 = 40/5 = 8 reais por caderno. É essa igualdade que sustenta a regra de três direta.

Antes de usar o método, pergunte o que permanece constante. Pode ser o preço unitário, a velocidade, a produção por máquina ou o total do serviço. Sem essa condição, alinhar números em duas colunas não garante uma resposta válida.

Proporção direta: os dois valores acompanham o mesmo fator

Uma papelaria vende quatro canetas iguais por R$ 14, sem desconto por quantidade. Quanto custam dez canetas? As grandezas são quantidade de canetas e preço. Se comprarmos mais canetas, o preço aumenta. Além disso, o preço por caneta é fixo; portanto, a relação é diretamente proporcional.

Organizamos os pares:

Canetas	Preço
4	R$ 14
10	x

Podemos escrever 4/10 = 14/x. Multiplicando em cruz, 4x = 140, e x = 35. O preço é R$ 35.

Há um caminho ainda mais fácil nesse exemplo: 14 ÷ 4 = R$ 3,50 por caneta. Multiplicamos R$ 3,50 por 10 e encontramos R$ 35. Essa redução à unidade é excelente para entender o cálculo e verificar a montagem.

“Aumenta junto” é uma pista, mas não basta. É necessário aumentar pelo mesmo fator. Se a quantidade dobra, o preço precisa dobrar; se a quantidade cai à metade, o preço precisa cair à metade. Uma taxa fixa de entrega, por exemplo, pode impedir essa relação no preço total.

Como montar sem trocar os números de lugar

Mantenha cada grandeza em uma coluna e cada situação em uma linha. Na primeira linha, escreva dados que pertencem ao mesmo caso. Na segunda, escreva a nova situação, deixando x onde está a pergunta.

Uma receita para seis porções usa 450 gramas de um ingrediente. Para dez porções, mantendo a mesma receita, usamos:

6/10 = 450/x → 6x = 4.500 → x = 750 gramas.

O cálculo pela unidade confirma: 450 ÷ 6 = 75 gramas por porção; 75 × 10 = 750. Como dez porções são mais que seis, a quantidade deve superar 450 gramas. Essa previsão detecta rapidamente uma fração invertida.

Você também pode escrever 10/6 = x/450. Isso está correto porque a ordem foi invertida nas duas razões. O problema é inverter só uma delas numa relação direta. Não tente memorizar a posição do x: preserve a correspondência entre as situações.

Proporção inversa: o produto permanece constante

Um trajeto de 180 quilômetros será percorrido a velocidade constante. A 60 km/h, a viagem leva três horas. Quanto tempo leva a 90 km/h, desconsiderando paradas?

Para a mesma distância, aumentar a velocidade reduz o tempo. E o produto velocidade × tempo continua igual a 180 quilômetros. Podemos escrever:

60 × 3 = 90 × x → 180 = 90x → x = 2 horas.

A velocidade foi multiplicada por 1,5; o tempo foi dividido por 1,5. Essa é a característica da proporção inversa. Se usássemos uma regra direta sem pensar, encontraríamos 4,5 horas, o que contradiz a própria situação: uma viagem mais rápida demoraria mais.

Na montagem por razões, para a relação inversa podemos escrever 60/90 = x/3. Uma das razões fica invertida em relação ao arranjo direto. Entretanto, pensar no produto constante costuma ser mais claro: a distância não mudou, então velocidade e tempo se compensam.

Pessoas e máquinas: leia as condições do problema

Três máquinas iguais produzem um lote em oito horas. Seis máquinas iguais, trabalhando juntas e com o mesmo rendimento, produziriam esse lote em quanto tempo? O número de máquinas dobrou, então o tempo cai à metade: quatro horas.

Pelo produto constante, 3 × 8 = 6 × x. Temos 24 = 6x e x = 4. O total representa 24 horas de trabalho de uma máquina, distribuídas por seis máquinas.

Esse modelo exige condições: máquinas equivalentes, operação simultânea e trabalho divisível. Se houver uma etapa que só uma máquina consegue executar, uma falta de material ou um tempo obrigatório de espera, a produção pode deixar de seguir essa proporção simples.

O mesmo vale para trabalhadores. A conta matemática resolve o modelo descrito no enunciado. Na vida real, contratar o dobro de pessoas nem sempre reduz pela metade o prazo de uma obra. Na prova, use as condições fornecidas; não acrescente uma hipótese que o texto não permite nem ignore uma restrição explícita.

Unidades iguais antes das proporções

Uma torneira fornece 12 litros em dois minutos. Quanto fornecerá em 30 segundos, mantendo a vazão? Se colocar 2 e 30 na mesma coluna sem converter, você estará comparando minutos com segundos como se fossem iguais.

Converta dois minutos em 120 segundos. A relação direta fica 120/30 = 12/x. Como 30 segundos são um quarto de 120, a quantidade também será um quarto: três litros.

Outra saída é calcular seis litros por minuto e lembrar que 30 segundos equivalem a meio minuto. Assim, 6 × 0,5 = 3 litros. As duas soluções usam a mesma relação.

Escreva a unidade ao lado do resultado. “3” pode significar três litros, minutos ou garrafas. O guia de medidas e conversões mostra as mudanças entre unidades de comprimento, área, volume e tempo.

Quando a regra de três não serve

Uma corrida custa R$ 6 de taxa inicial mais R$ 3 por quilômetro. Para dois quilômetros, o preço é R$ 12; para quatro quilômetros, é R$ 18. A distância dobrou, mas o preço não dobrou, pois a taxa inicial é cobrada uma vez.

Se você fizer regra de três usando dois quilômetros e R$ 12, obterá R$ 24 para quatro quilômetros, uma resposta errada. A relação correta é preço = 6 + 3 × distância. Aqui, uma expressão ou equação do primeiro grau descreve melhor a situação.

Também não podemos supor que uma criança com o dobro da idade tem o dobro da altura, nem que o dobro do tempo de estudo garante o dobro da nota. Esses valores podem se relacionar sem serem proporcionais.

Outro limite aparece em compras por pacotes inteiros. Se cada pacote tem dez peças e você precisa de 23, a divisão mostra 2,3 pacotes, mas a compra exige três pacotes quando eles não podem ser fracionados. O resultado matemático ainda precisa ser interpretado na situação.

Porcentagem como relação proporcional

Se 100% de uma quantia correspondem a R$ 240, quanto corresponde a 15%? A relação entre porcentagem e valor é direta quando a base permanece fixa:

100/15 = 240/x → 100x = 3.600 → x = R$ 36.

Também podemos calcular 10% de 240, que são 24, e 5%, que são 12; somando, obtemos 36. Escolha o caminho que permita explicar o resultado com segurança.

Se o enunciado pedir o preço após desconto, ainda falta subtrair: 240 − 36 = R$ 204. A aula de porcentagem explica por que encontrar a parte e encontrar o preço final são perguntas diferentes. A regra de três não substitui essa leitura.

Exercícios para conferir o entendimento

1. Cinco metros de tecido custam R$ 90. Quanto custam oito metros pelo mesmo preço unitário? Cada metro custa 90 ÷ 5 = R$ 18. Oito metros custam 8 × 18 = R$ 144. A relação é direta, pois o preço unitário é constante.

2. Quatro bombas iguais esvaziam um tanque em seis horas. Quanto demorariam três bombas, nas mesmas condições? Com menos bombas, esperamos mais tempo. O produto é 4 × 6 = 24. Dividimos por 3: oito horas. A conta pressupõe vazão constante e trabalho simultâneo.

3. Um equipamento embala 75 unidades em cinco minutos. Quantas embala em 18 minutos, sem interrupção e no mesmo ritmo? A produção por minuto é 75 ÷ 5 = 15 unidades. Em 18 minutos, são 15 × 18 = 270 unidades. A resposta aumenta junto com o tempo.

4. Uma pessoa caminha 1,2 quilômetro em 15 minutos, com ritmo constante. Quanto percorre em 40 minutos? Primeiro, 1,2 ÷ 15 = 0,08 quilômetro por minuto. Depois, 0,08 × 40 = 3,2 quilômetros. Poderíamos converter 1,2 quilômetro em 1.200 metros e chegar a 3.200 metros.

5. Uma entrega custa R$ 10 de taxa fixa e R$ 2 por item. Se três itens custam R$ 16, seis custam R$ 32? Não. Para seis itens, o custo é 10 + 2 × 6 = R$ 22. Dobrar todos os R$ 16 duplicaria indevidamente a taxa fixa.

Ao corrigir, escreva a condição que tornou a relação proporcional. Depois faça uma previsão antes da conta: o resultado deve crescer, diminuir ou ficar igual? Essa etapa simples transforma a regra de três em raciocínio. Para situar o assunto na preparação, consulte o que estudar para o Encceja.

Fontes e referências

• Inep: materiais de estudo de Matemática por nível de ensino. Os exemplos desta aula foram elaborados para explicar as relações proporcionais.