Frações no Encceja: operações e exemplos resolvidos

Fração representa uma divisão e também pode indicar uma parte de uma quantidade. Em 3/4, o número 4 informa em quantas partes iguais a unidade foi dividida; o 3 informa quantas dessas partes estamos considerando. Três quartos de uma barra de chocolate são três das quatro partes iguais daquela barra. Para encontrar 3/4 de 80, dividimos 80 por 4 e multiplicamos por 3: o resultado é 60.

Essa ideia permite entender as contas sem depender de regras decoradas. Antes de calcular, descubra qual é a unidade: uma barra, um litro, um salário ou um grupo inteiro. Metade de uma quantidade pequena pode ser menor que um quarto de outra quantidade maior. A fração, sozinha, não informa o tamanho absoluto da parte.

Os exemplos e exercícios desta aula são próprios, criados para ensinar o raciocínio. Para praticar com enunciados do exame, use depois as provas antigas do Encceja.

Numerador, denominador e partes iguais

O número acima da barra é o numerador. O número abaixo é o denominador. Na escrita 2/5, temos numerador 2 e denominador 5. Lemos “dois quintos”. A barra significa divisão: 2/5 também quer dizer 2 dividido por 5.

O denominador não pode ser zero. Não existe um resultado que, multiplicado por zero, produza 2; por isso 2/0 não é uma divisão definida. Outra atenção é que as partes precisam ser iguais. Cortar uma pizza em quatro pedaços de tamanhos diferentes não transforma cada pedaço em um quarto.

Uma fração também pode representar mais que uma unidade. Cinco meios, ou 5/2, correspondem a duas unidades inteiras e mais uma metade. Como cada inteiro contém dois meios, quatro meios formam dois inteiros, e sobra um meio. Assim, 5/2 = 2,5. Fração não significa obrigatoriamente “um pedaço menor que o todo”.

Frações equivalentes: a quantidade permanece

Imagine uma barra dividida em duas partes iguais. Você separa uma metade. Se cada metade for cortada novamente ao meio, a barra terá quatro partes iguais, e a porção separada ocupará duas delas. Portanto, 1/2 = 2/4.

Multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número diferente de zero produz uma fração equivalente. Por exemplo:

• 2/3 = 4/6, multiplicando os dois números por 2;
• 2/3 = 6/9, multiplicando os dois por 3;
• 3/5 = 12/20, multiplicando os dois por 4.

Os números escritos mudam, mas a divisão representa o mesmo valor. Essa propriedade é a base para somar frações com denominadores diferentes e para comparar quantidades.

Simplificar é fazer o caminho contrário: dividir numerador e denominador por um mesmo divisor. Em 18/24, os dois números podem ser divididos por 6. Obtemos 3/4. Como 3 e 4 não têm divisor comum maior que 1, essa é a forma simplificada ao máximo.

Não precisa encontrar o maior divisor logo de primeira. Você pode transformar 18/24 em 9/12, dividindo por 2, e depois em 3/4, dividindo por 3. O cuidado é sempre executar a mesma divisão nas duas partes.

Como comparar duas frações

Com denominadores iguais, compare os numeradores: 5/8 é maior que 3/8, pois cinco partes do mesmo tamanho representam mais que três. Com numeradores iguais e positivos, a fração de menor denominador é maior: 1/3 é maior que 1/6. Dividir o mesmo inteiro em seis partes produz pedaços menores do que dividi-lo em três.

Quando os dois números diferem, transforme as frações em equivalentes com o mesmo denominador. Para comparar 3/4 e 5/6, podemos usar 12: 3/4 = 9/12 e 5/6 = 10/12. Logo, 5/6 é maior.

Também é possível dividir e comparar decimais, mas nem toda divisão termina. O denominador comum mantém o cálculo exato. E a comparação só permite concluir algo sobre quantidades concretas quando elas usam a mesma referência: 3/4 de um litro e 5/6 de um litro podem ser comparados diretamente; 3/4 de um litro e 5/6 de dois litros exigem calcular as quantidades.

Adição e subtração: primeiro iguale as partes

Na soma 2/7 + 3/7, os pedaços já têm o mesmo tamanho. Somamos quantos pedaços temos: 5/7. O denominador continua 7. Somar também os denominadores daria 5/14, que representa outra quantidade.

Para 1/2 + 1/3, precisamos falar de partes do mesmo tamanho. Uma metade corresponde a três sextos; um terço corresponde a dois sextos. Então:

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

O número 6 é um múltiplo comum de 2 e 3. Usar o menor múltiplo comum costuma deixar a conta menor, mas qualquer múltiplo comum serve. Usando 12, teríamos 6/12 + 4/12 = 10/12, que simplifica para 5/6.

Na subtração, o princípio é igual. Um reservatório estava com 5/6 da capacidade e perdeu uma quantidade equivalente a 1/4 da capacidade total. O que restou? Usando doze avos, temos 10/12 − 3/12 = 7/12 da capacidade.

Observe a expressão “da capacidade total”. Se o enunciado dissesse que foi retirado um quarto da água que havia, a referência seria outra. Nesse caso, restariam 3/4 de 5/6, ou 5/8 da capacidade. A leitura decide a operação.

Multiplicação: uma parte de outra parte

Para calcular 2/3 de 3/4, multiplicamos as frações: (2 × 3)/(3 × 4) = 6/12 = 1/2. Pense em uma receita que usa 3/4 de xícara de leite. Se você fizer apenas 2/3 da receita, usará 1/2 xícara.

Na multiplicação, não é necessário igualar denominadores. Multiplicamos numeradores entre si e denominadores entre si. Podemos simplificar antes para facilitar: em 2/3 × 3/4, o 3 do numerador e o 3 do denominador se dividem por 3, e fica 2/4 = 1/2.

Essa simplificação funciona entre fatores de uma multiplicação. Não apague números parecidos dentro de uma soma. Por exemplo, em (2 + 3)/3, não podemos “cortar” os dois números 3. Primeiro somamos no numerador: 5/3.

Para multiplicar um inteiro por uma fração, escreva o inteiro com denominador 1. Assim, 12 × 3/4 = 12/1 × 3/4 = 36/4 = 9. É o mesmo resultado de dividir 12 por 4 e tomar três partes.

Divisão: quantas partes cabem na quantidade?

Uma garrafa contém 3/2 litro de suco. Cada copo comporta 1/4 de litro. Quantos copos completos podem ser servidos? Queremos saber quantos quartos de litro cabem em um litro e meio: 3/2 ÷ 1/4.

Podemos transformar tudo em quartos: 3/2 = 6/4. Se há seis quartos de litro e cada copo recebe um quarto, são seis copos. Pela regra da divisão, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda:

3/2 ÷ 1/4 = 3/2 × 4/1 = 12/2 = 6.

O inverso troca numerador e denominador. Essa regra vale quando o divisor é diferente de zero. Dividir por uma fração menor que 1 pode aumentar o resultado numérico, porque estamos contando quantas porções pequenas cabem na quantidade disponível.

Se o resultado for 6,5 copos, isso significa seis copos completos e metade de outro. A resposta final depende da pergunta: quantos completos podem ser servidos ou qual quantidade de copos a divisão representa?

Da fração para decimal e porcentagem

Para escrever uma fração como decimal, divida o numerador pelo denominador: 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75. Para escrever como porcentagem, multiplique esse valor por cem: 0,75 × 100 = 75%.

O caminho também pode usar uma fração equivalente com denominador 100: 3/4 = 75/100. Isso mostra diretamente os 75%. Algumas relações úteis são 1/2 = 0,5 = 50%; 1/4 = 0,25 = 25%; 1/5 = 0,2 = 20%.

Já 1/3 produz 0,333… A repetição não termina, e 33,33% é uma aproximação, não uma igualdade exata com um terço. Se a questão permitir manter a fração, você evita arredondamentos desnecessários. A aula de porcentagem aprofunda descontos, aumentos e a escolha da referência.

Exercícios com o raciocínio explicado

1. De 36 livros, 2/3 são de literatura. Quantos são? Dividimos 36 em três grupos iguais: 12 em cada grupo. Tomamos dois grupos: 24 livros. A resposta deve ser menor que 36, pois a fração é menor que 1.

2. Uma pessoa percorreu 3/8 de um trajeto pela manhã e 1/4 à tarde. Que fração percorreu? Como 1/4 = 2/8, somamos 3/8 + 2/8 = 5/8. Restaram 3/8, porque o trajeto inteiro corresponde a 8/8.

3. Uma receita pede 2/3 de xícara de farinha. Quanto usar em meia receita? Meia receita corresponde a multiplicar por 1/2: 2/3 × 1/2 = 2/6 = 1/3 de xícara. Somar 1/2 à quantidade original aumentaria a receita.

4. Há 5/2 metros de fita, cortados em pedaços de 1/2 metro. Quantos pedaços saem? Calculamos 5/2 ÷ 1/2 = 5/2 × 2 = 5 pedaços. Também podemos pensar que já temos cinco metades de metro.

5. Qual é maior: 7/10 ou 2/3? Usando trinta avos, 7/10 = 21/30 e 2/3 = 20/30. Portanto, 7/10 é maior, por uma diferença de 1/30 da mesma unidade.

Se errou, identifique a causa: referência errada, denominadores diferentes, troca da operação ou erro de tabuada. Refaça o passo específico. Depois, avance para regra de três, que usa razões e proporções, ou organize a sequência pelo guia o que estudar.

Fontes e referências

• Inep: materiais de estudo, com livros de Matemática para ensino fundamental e ensino médio. Os exercícios desta página são autorais.