Área e perímetro no Encceja: fórmulas com exemplos

Perímetro é a medida do contorno de uma figura. Área é a medida da superfície que ela ocupa. Em um terreno, a quantidade de cerca depende do perímetro; a quantidade de grama para cobrir toda a superfície depende da área. Um retângulo de seis metros por quatro metros tem perímetro de 20 metros e área de 24 metros quadrados.

Para encontrar o perímetro, somamos os comprimentos da borda. Para encontrar a área, usamos uma relação adequada à figura ou dividimos a superfície em partes mais simples. A primeira decisão, portanto, não é escolher uma fórmula: é descobrir se a pergunta trata de contornar ou de cobrir.

Os problemas desta aula foram criados para explicar os conceitos. Não são questões oficiais nem uma previsão da prova. Depois de entender os exemplos, use as provas antigas do Encceja para praticar a leitura de desenhos e enunciados.

A unidade revela o que você está calculando

O perímetro é um comprimento: pode ser expresso em centímetros, metros ou quilômetros. A área usa unidades quadradas, como cm² e m². Um metro quadrado corresponde à superfície de um quadrado de um metro de lado.

Se você somou lados medidos em metros e escreveu m² no final, a unidade ficou errada. Se multiplicou duas medidas de comprimento em metros para calcular uma superfície, o resultado deve ser expresso em metros quadrados.

As medidas também precisam estar compatíveis antes da conta. Um retângulo com lados de dois metros e 50 centímetros tem lados de dois metros e 0,5 metro. Sua área é 2 × 0,5 = 1 m². Multiplicar 2 por 50 sem converter mistura unidades e não produz cinquenta metros quadrados.

No guia de medidas e conversões, você encontra a explicação de por que 1 m² equivale a 10.000 cm². Essa relação é especialmente útil em problemas com pisos e peças pequenas.

Retângulo: área e contorno são contas diferentes

Um retângulo tem quatro ângulos retos e lados opostos com a mesma medida. Se o comprimento é c e a largura é l, o perímetro é c + l + c + l, ou P = 2(c + l). A área é A = c × l.

Considere um quarto de cinco metros por três metros. A área é 5 × 3 = 15 m². Podemos imaginar três faixas de cinco quadrados de um metro quadrado: são quinze quadrados ao todo.

O perímetro é 5 + 3 + 5 + 3 = 16 metros. Se instalarmos rodapé em todo o contorno, sem descontar aberturas, precisaremos de 16 metros. Se houver uma porta de 80 centímetros sem rodapé nesse trecho, descontamos 0,8 metro: serão 15,2 metros.

Perceba que a existência da porta não altera a área do piso do quarto. O desconto depende da grandeza pedida. Não retire a largura de uma porta da área de um piso apenas porque o enunciado citou uma abertura.

Quadrado: quatro lados iguais

O quadrado é um retângulo com os quatro lados iguais. Se o lado mede l, o perímetro é P = 4l e a área é A = l², isto é, l × l.

Um canteiro quadrado de quatro metros de lado tem perímetro de 16 metros e área de 16 m². Os números coincidiram, mas as medidas têm significados e unidades diferentes. Com lado de três metros, o perímetro seria 12 metros, e a área seria 9 m².

Se o problema fornecer o perímetro de um quadrado e pedir a área, descubra primeiro o lado. Com perímetro de 28 metros, cada lado mede 28 ÷ 4 = 7 metros. A área é 7 × 7 = 49 m². Elevar diretamente 28 ao quadrado trataria o contorno inteiro como se fosse um lado.

Triângulo: a altura precisa ser perpendicular

A área de um triângulo é A = base × altura ÷ 2. A altura é a distância perpendicular entre a reta da base e o vértice oposto. “Perpendicular” significa formar um ângulo reto, de 90 graus.

Um triângulo com base de oito centímetros e altura de cinco centímetros tem área de 8 × 5 ÷ 2 = 20 cm². A divisão por dois pode ser entendida ao juntar duas cópias de um triângulo para formar um paralelogramo de mesma base e altura.

Um lado inclinado não é automaticamente a altura. Em um desenho, procure o segmento que forma ângulo reto com a base. Em alguns triângulos, essa altura aparece fora da figura, sobre o prolongamento da base. A fórmula continua válida.

Para o perímetro, precisamos das medidas dos três lados. Saber apenas base e altura geralmente não basta para somar o contorno. Em um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 centímetros, o perímetro é 12 centímetros. Usando os lados perpendiculares de 3 e 4 como base e altura, a área é 3 × 4 ÷ 2 = 6 cm².

Não some a altura ao contorno quando ela estiver dentro da figura: o perímetro acompanha somente a borda.

Círculo: raio, diâmetro e o número pi

O raio é a distância do centro até a borda do círculo. O diâmetro liga dois pontos da borda passando pelo centro e mede o dobro do raio: d = 2r.

A medida do contorno circular, chamada comprimento da circunferência, é C = 2πr, ou C = πd. A área do círculo é A = πr². O símbolo π, lido “pi”, representa uma constante cujo valor aproximado é 3,14. Se o enunciado fornecer outro valor, como 3, use o que foi indicado.

Um jardim circular tem raio de três metros. Usando π = 3,14, o contorno mede 2 × 3,14 × 3 = 18,84 metros. A área é 3,14 × 3² = 3,14 × 9 = 28,26 m².

Se o desenho informar diâmetro de seis metros, o raio continuará sendo três. Colocar seis na fórmula da área como se fosse o raio produziria uma área quatro vezes maior. Antes de substituir números, escreva claramente qual medida é o raio e qual é o diâmetro.

Para um semicírculo de raio três metros, a área é a metade: 14,13 m². Já o perímetro da figura inclui o arco de meia circunferência e o diâmetro reto. Então o contorno é 3,14 × 3 + 6 = 15,42 metros. Dividir apenas a circunferência por dois deixaria de contar a borda reta.

Figuras compostas: divida ou complete

Uma superfície em formato de L pode ser dividida em dois retângulos sem sobreposição. Imagine um retângulo maior de oito metros por seis metros, do qual foi retirado um canto retangular de três metros por dois metros.

A área do retângulo maior é 8 × 6 = 48 m². O canto retirado tem 3 × 2 = 6 m². A área restante é 48 − 6 = 42 m².

Também podemos dividir o L em duas peças: um retângulo de oito por quatro metros, com 32 m², e outro de cinco por dois metros, com 10 m². A soma é 42 m². Se os dois métodos produzem respostas diferentes, alguma parte foi contada duas vezes ou ficou de fora.

Para o perímetro dessa figura, percorra somente a borda. Ao retirar o canto descrito, saem da borda externa um trecho de três metros e outro de dois, mas entram dois trechos com essas mesmas medidas na reentrância. Nesse caso específico, o perímetro permanece 28 metros, igual ao do retângulo original.

Isso não autoriza dizer que todo recorte mantém o perímetro. Um buraco interno, por exemplo, acrescenta um novo contorno se a pergunta pedir toda a borda do material. Leia quais limites precisam ser medidos.

Mesma área não significa mesmo perímetro

Um retângulo de seis por quatro metros tem área de 24 m² e perímetro de 20 metros. Outro, de oito por três metros, também tem área de 24 m², mas seu perímetro é 22 metros.

Portanto, conhecer apenas a área de um retângulo não determina seu contorno. O formato e as dimensões importam. Da mesma forma, dois retângulos podem ter o mesmo perímetro e áreas diferentes: cinco por cinco metros tem perímetro de 20 metros e área de 25 m²; seis por quatro tem o mesmo perímetro e área de 24 m².

Outro cuidado é a ampliação. Se todos os comprimentos de uma figura forem multiplicados por 2, o perímetro dobra e a área é multiplicada por 4. Um quadrado de lado três passa de 9 m² para 36 m² quando o lado vira seis. A área depende de duas dimensões, por isso não cresce apenas duas vezes.

Piso, material e quantidade de peças

Um cômodo retangular de quatro metros por três metros tem área de 12 m². Cada peça quadrada de piso tem 50 centímetros de lado, equivalentes a 0,5 metro. A área de cada peça é 0,5 × 0,5 = 0,25 m².

Dividindo 12 por 0,25, encontramos 48 peças para a cobertura geométrica ideal. Nesse caso, as dimensões também permitem oito peças no lado de quatro metros e seis no lado de três metros: 8 × 6 = 48.

Em situações reais, cortes, perdas, juntas e condições de instalação podem alterar a compra. Em uma questão, use a margem de sobra somente quando ela estiver informada ou solicitada. Se o problema pedir 10% a mais de área, calcule 12 × 1,10 = 13,2 m²; a aula de porcentagem explica esse acréscimo.

Quando os produtos são vendidos apenas em pacotes inteiros, arredonde a quantidade de pacotes para cima conforme a necessidade. Essa é uma decisão prática depois de calcular a área, não uma mudança na fórmula geométrica.

Exercícios resolvidos

1. Um terreno de 12 por 8 metros será cercado, deixando um portão de três metros. Quantos metros de cerca são necessários? O perímetro é 12 + 8 + 12 + 8 = 40 metros. Descontando o portão, são 37 metros. A área de 96 m² não responde à pergunta sobre a cerca.

2. Uma placa triangular tem base de 10 centímetros e altura perpendicular de sete centímetros. Qual é a área? Aplicamos 10 × 7 ÷ 2 = 35 cm². Os dois números fornecidos são base e altura, e não necessariamente dois lados do contorno.

3. Um círculo tem diâmetro de 10 metros. Qual é a área com π = 3,14? O raio é 10 ÷ 2 = 5 metros. Assim, A = 3,14 × 5² = 78,5 m². A etapa de dividir o diâmetro por dois é indispensável.

4. Uma parede de cinco por três metros tem uma janela de dois por um metro. Qual área será pintada, desconsiderando outros descontos? A parede tem 15 m². A janela tem 2 m². Subtraindo, a superfície a pintar é 13 m².

5. Um quadrado de lado dois metros foi ampliado para lado seis metros. Como mudam perímetro e área? O lado foi multiplicado por 3. O perímetro passa de 8 para 24 metros, também triplicando. A área passa de 4 para 36 m², ficando nove vezes maior.

Ao corrigir, identifique três escolhas: a grandeza pedida, a figura usada e a unidade final. Se houver uma medida desconhecida, pode ser necessário usar uma equação antes da fórmula. Para encaixar geometria na preparação, veja o que estudar.

Fontes e referências

• Inep: materiais de estudo de Matemática para o Encceja. Os desenhos mentais, exemplos numéricos e exercícios desta página são autorais.